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已知函數f（x）=|log2x|，當0＜m＜n時，有f（n）=f（m）=2f（
m+n
2
）．
（1）求mn的值；
（2）求證：1＜（n-2）2＜2．
考點：對數函數的圖像與性質
專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用
分析：（1）由題意可得，-log2m=log2n，化簡可得 mn=1，
（2）先根據均值定理得
m
2
+
n
2
＞1，由題意(
m
2
+
n
2
)2=n，化簡，再根據mn=1，得到結論．
解答： 解：（1）∵f（x）=|log2x|，當0＜m＜n時，有f（n）=f（m），
∴-log2m=log2n，
∴l(xiāng)og2mn=0，
∴mn=1，
（2）根據均值定理得
m
2
+
n
2
＞1，
∵f（n）=f（m）=2f（
m+n
2
）．
∴2f（
m+n
2
）=2log2
m+n
2
=log2(
m+n
2
)2=log2n，
∴(
m
2
+
n
2
)2=n，
∴m2+n2+2mn=4n，
即 n2-4n=-m2-2，
∴（n-2）2＜2-m2，
∵0＜m＜1，
∴0＜m2＜1，
∴1＜2-m2＜2，
即1＜（n-2）2＜2．
點評：本題主要考查了對數的運算性質和不等式的證明，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3•f（3），b=f（1），c=-2f（-2）．則a，b，c的大小關系是（　�。�
A、a＞b＞c
B、c＞a＞b
C、c＞b＞a
D、a＞c＞b

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=2sinx（sinx+cosx），將f（x）化成y=Asinx（ωx+φ）形式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x|x＞4或x＜-1}，B={x|ax-1＞0}，若A∪B=A，則實數a的取值范圍是（　�。�
A、（0，
1
4
）
B、（-1，0）∪（0，
1
4
）
C、（-1，
1
4
）
D、[-1，
1
4
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

求值域：
（1）y=
x2-5x+6
x2+x-6
；
（2）y=
2x2+4x-7
x2+2x+3
；
（3）f（x）=x+
2x-1
；
（4）f（x）=
x+1
+
2-x
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

不等式
x
＞2x-1的解集是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
=（x1，x2），
b
=（x2，y2），若
a
，
b
的夾角為銳角，則x1•x2+y1•y2＞0．
 
．（判斷對錯）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x＞0，y＞0，
1
x+1
+
1
y
=2，求x+2y的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛120千米（50≤x≤100）（單位：千米/小時）．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油（2+
x2
360
）升，司機的工資是每小時12元．
（1）求這次行車總費用y關于x的表達式；
（2）當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．

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