Question

6．已知$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$sinα=\frac{4}{5}$．
（1）求$cos（α-\frac{π}{4}）$的值；
（2）求${sin^2}\frac{α}{2}+\frac{sin4αcos2α}{1+cos4α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．
（2）利用倍角公式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為9分）
解：（1）∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$sinα=\frac{4}{5}$．
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，…2分
∴$cos（α-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$…4分
（2）${sin^2}\frac{α}{2}+\frac{sin4αcos2α}{1+cos4α}$=$\frac{1-cosα}{2}$+$\frac{2sin2αco{s}^{2}2α}{2co{s}^{2}2α}$=$\frac{1-cosα}{2}$+2sinαcosα=$\frac{1+\frac{3}{5}}{2}$+2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{4}{25}$…9分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．