Question

17．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到曲線C'，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出曲線C與曲線C'的極坐標(biāo)的方程； 
（2）若過點$A（{2\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$（極坐標(biāo)）且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l與曲線C交于M，N兩點，弦MN的中點為P，求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出曲線C與曲線C'的極坐標(biāo)的方程； 
（2）利用參數(shù)方程，及參數(shù)的幾何意義，即可求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

解答 解：（1）$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.⇒C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
將$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=3x'}\\{y=2y'}\end{array}}\right.$，代入C的普通方程可得x'²+y'²=1，即C'：x²+y²=1…（2分）
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}}\right.$代入曲線方程可得$C：\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}α}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}α}}{4}=1$，C'：ρ=1．…（5分）
（2）點$A（{2\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$直角坐標(biāo)是A（2，2），將l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=3+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$
代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
可得$\frac{31}{4}{t^2}+（8+18\sqrt{3}）t+16=0$，…（7分）
所以$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}=\frac{{|{\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{4+9\sqrt{3}}}{16}$．…（10分）

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．