Question

18．已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是2，$2\sqrt{3}$；以這個(gè)直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．

Answer 1

分析 斜邊長(zhǎng)AC=4，以這個(gè)直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，由此能求出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．

解答 解：一個(gè)直角三角形△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別是AB=2，BC=$2\sqrt{3}$，
∴斜邊長(zhǎng)AC=$\sqrt{4+12}=4$，
以這個(gè)直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，
其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，如圖，
r=BO=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
CO=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，AO=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面積S=π×BO×（BC+AB）
=$π×\sqrt{3}×（2+2\sqrt{3}）$=2$\sqrt{3}π$+6π．
這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積V=$\frac{1}{3}×π×B{O}^{2}$×AC=$\frac{1}{3}×π×3×4$=4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓錐的性質(zhì)的合理運(yùn)用．