Question

12．設$\overrightarrow{a}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx，-y）滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，y=f（x）
（1）求函數(shù)f（x）的最值；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（$\frac{A}{2}$），當a=2時，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合二倍角公式和輔助角公式，化簡可得f（x），再由正弦函數(shù)的最值，即可得到所求最值；
（2）運用正弦定理，可得b，c，再由三角函數(shù)的和差公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{a}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow$=（cosx，-y）滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即有（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx）cosx-y=0，
則y=f（x）=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx）cosx=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
則當2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1；
當2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-1；
則函數(shù)f（x）的最小值為-1，最大值為3；
（2）當a=2，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，得：
b=2RsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
則b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B））=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=4sin（B+$\frac{π}{6}$），
又B∈（0，$\frac{2π}{3}$），得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
可得sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，即4sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（2，4]．
則b+c∈（2，4]．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的最值，考查解三角形的正弦定理和輔助角公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．