Question

11．雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A為右支上一點，AF₁與雙曲線左支相交于點B，且$\overrightarrow{{F_1}A}=3\overrightarrow{{F_1}B}，|{\overrightarrow{O{F_1}}}|=|{\overrightarrow{OA}}|$（O為坐標原點），則雙曲線C的漸近線方程為y=±2x．

Answer 1

分析 設A（m，n），B（s，t），（m，n＞0，s＜0，t＞0），由m²+n²=c²，又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，解得m，n，再由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，F(xiàn)₁（-c，0），運用向量共線的坐標表示，求得s，t，代入雙曲線的方程，可得b=2a，進而得到雙曲線的漸近線方程．

解答 解：設A（m，n），B（s，t），（m，n＞0，s＜0，t＞0）
由題意可得m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
解得m=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$，n=$\frac{^{2}}{c}$，
再由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，F(xiàn)₁（-c，0），
可得m+c=3（s+c），n-0=3（t-0），
即有s=$\frac{m-2c}{3}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$-2c）
t=$\frac{1}{3}$n=$\frac{^{2}}{3c}$，
代入雙曲線的方程可得，$\frac{（a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}-2{c}^{2}）^{2}}{9{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{^{2}}{9{c}^{2}}$=1，
結合c²=a²+b²，化簡整理，可得b=2a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x．
故答案為：y=±2x．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的求法，注意運用向量共線的坐標表示和點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．