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16.已知PC為球O的直徑,A、B是球面上兩點,且AB=2,∠APC=∠BPC=π4,若球O的表面積是16π,則三棱錐P-ABC的體積是(  )
A.433B.43C.233D.23

分析 由題意知OP=OC=OA=OB=4,∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4,∠PAC=∠PBC=π2,AO⊥PC,BO⊥PC,即可求出棱錐A-PBC的體積.

解答 解:如圖,由題意球O的表面積為16π,可得球的半徑為:2,
知OP=OC=OA=OB=AB=2,
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4,∠PAC=∠PBC=π2
AO⊥PC,BO⊥PC,
∴PC⊥平面AOB,
BP=BC=22
∴S△PBC=12×22×22=4,
取BO中點D,連結(jié)AD,則AD⊥BO,
又PC⊥面AOB,AD?平面AOB,
∴AD⊥PC,
又BO∩PC=O,
∴AD⊥平面BPC,
∵AD=3,
∴棱錐A-PBC的體積V=13×4×3=433
故選:A.

點評 本題考查三棱錐的體積的求法,考查學生的計算能力,是中檔題,解題時要認真審題,注意球的性質(zhì)的合理運用.

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