5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x2-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

分析 由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用曲線的斜率，從而求解a的范圍；

解答 解：由題意知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；
即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；
轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)，
如右圖．
可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，
只須0＜a＜k．
令切點(diǎn)A（x0，lnx0），
故k=y′${|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，又k=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
故$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得，x0=e，
故k=$\frac{1}{e}$，
故0＜a＜$\frac{1}{e}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．點(diǎn)P（x，y）在三角形ABC的邊界和內(nèi)部運(yùn)動，其中A（1，0），B（2，1），C（4，4），已知m＞0，n＞0．
（1）求z=2x-y的最小值M和最大值N；
（2）若m+n=M，求$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值，并求此時的m，n的值；
（3）若m+n+mn=N，求mn的最大值和m+n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．函數(shù)y=$\frac{（1-x）^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值為1．

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13．函數(shù)f（x）=2x-ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范圍．

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20．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求線段AB的長度；
（2）若直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且有已知點(diǎn)P（2，$\sqrt{3}$），求證：|PA|•|PB|=|OP|2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且直線2x+y-3=0與橢圓C相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，點(diǎn)M是直線x=2上的一個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)過點(diǎn)F作0M的垂線，垂足為K，并延長FK與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．若函數(shù)f（x）=log2（x+$\frac{m}{x}$-1）在（3，+∞）上是增函數(shù)，則m的取值范圍是[-6，9]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知直線y=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{e^x}$的切線（其中e=2.71828…）．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{{2x-{x^2}}}$成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=lnf（x）-b的兩個零點(diǎn)為x1，x2，證明：g′（x1）+g′（x2）＞$g'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{13}t}\\{y=\frac{5}{13}t-3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=-2cosθ．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動點(diǎn)，求|MN|的最大值．

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