Question

5．已知函數f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由導數與極值的關系知可轉化為方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，通過函數的導數利用曲線的斜率，從而求解a的范圍；

解答 解：由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；
即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；
轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，
如右圖．
可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，
只須0＜a＜k．
令切點A（x₀，lnx₀），
故k=y′${|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，又k=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
故$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得，x₀=e，
故k=$\frac{1}{e}$，
故0＜a＜$\frac{1}{e}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了導數的綜合應用，轉化思想，數形結合的思想方法的應用，屬于中檔題．