Question

13．函數(shù)f（x）=2x-e^x+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；
（2）求出f（x）在（0，1）為正，a≤0時(shí)，符合題意，a＞0時(shí)，通過(guò)討論①0＜a≤1，②a＞1時(shí)的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=2x-e^x+1，f′（x）=2-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）遞增，在（ln2，+∞）遞減，
∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2-1；
（2）x∈（0，1）時(shí)，f（x）在（0，ln2）遞增，在（ln2，1）遞減，
且f（0）=0，f（1）=3-e＞0，∴f（x）＞0，
∵tanx＞0，∴a≤0時(shí)，af（x）≤0＜tanx；
a＞0時(shí)，令g（x）=tanx-af（x），
則g′（x）=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$+a（e^x-2），
∴g（x）在（0，1）遞增且g′（0）=1-a，
①0＜a≤1時(shí)，g′（0）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）遞增，又g（0）=0，
∴此時(shí)g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，
②a＞1時(shí)，g′（0）＜0，g′（1）＞0，
∴?x₀∈（0，1），使得g′（x₀）=0，
即x∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
又g（0）=0，
∴g（x）＜0與af（x）＜tanx矛盾，
綜上：a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．