Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，點P（0，$\sqrt{3}$）在橢圓上，A，B分別為橢圓的左右頂點，過點B作BD⊥x軸交AP的延長線于點D，F(xiàn)為橢圓的右焦點．
（1）求橢圓的方程及直線PF被橢圓截得的弦長|PM|；
（2）求證：以BD為直徑的圓與直徑PF相切．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點P（0，$\sqrt{3}$），求得b=$\sqrt{3}$，由離心率公式及a²=b²+c²，即可求得a的值，即可求得橢圓的方程，求得直線PF的直線方程，代入橢圓方程，求得x₁，x₂，根據(jù)弦長公式即可求得|PM|；
（2）求得直線AP的方程，與BD的直線方程x=2聯(lián)立求D點坐標，即可求得圓心及半徑R，利用點到直線的距離公式，求得d=R，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

解答 解：（1）∵橢圓過點P（0，$\sqrt{3}$），
∴b=$\sqrt{3}$，又e=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
故$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
則F（1，0），P（0，$\sqrt{3}$），直線PF的方程為y=-$\sqrt{3}$（x-1），與橢圓方程聯(lián)立有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$
消去y得到5x²-8x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{x}_{2}=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$    由弦長公式得|PM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{16}{5}$；
（2）證明：過A（-2，0），P（0，$\sqrt{3}$）的直線AP的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+2）
與BD的直線方程x=2聯(lián)立有D（2，2$\sqrt{3}$），
所以以BD為直徑的圓的圓心為（2，$\sqrt{3}$），半徑R=$\sqrt{3}$，
圓心到直線PF的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}}）^{2}+1}$=$\sqrt{3}$=R
所以以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，同時考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式和相切的條件，屬于中檔題．