Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在橢圓上，且△PF₁F₂是高為$\sqrt{3}$的等邊三角形
（1）求橢圓C的方程
（2）已知動點Q（m，n）（mn≠0）在橢圓C上，點A（0，$\sqrt{3}$），直線AQ交x軸于點M，點Q′為點Q關于x軸的對稱點，直線AQ′交x軸于點N，若在y軸上存在點K（0，t），使得∠OKM=∠ONK，求滿足條件的點K的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知中△PF₁F₂是高為$\sqrt{3}$的等邊三角形，求出a，b值，可得橢圓C的方程
（2）先求出M，N兩點的橫坐標，進而根據∠OKM=∠ONK，可得|OK|²=|OM|•|ON|，進而可得點K的坐標．

解答 解：（1）∵△PF₁F₂是高為$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴a=2c=2，b=$\sqrt{3}$，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，

（2）設M（x₁，0），N（x₂，0），
由Q，A，M三點共線得：$\frac{-\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-\sqrt{3}}{m}$，
∴x₁=$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$，
同理由Q′，A，N三點共線得：x₂=$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$
若∠OKM=∠ONK，則tan∠OKM=tan∠ONK，
∴$\frac{\left|OM\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|OK\right|}{\left|ON\right|}$，即|OK|²=|OM|•|ON|，
又∵-$\sqrt{3}$＜n＜$\sqrt{3}$，且n≠0，
∴t²=|$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$|•|$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$|=$\frac{3{m}^{2}}{3-{n}^{2}}$，
又∵動點Q在橢圓C上，
∴3m²+4n²=12，
∴t²=$\frac{{12-4n}^{2}}{3-{n}^{2}}$=4，
解得：t=±2，
∴K的坐標為（0，-2），或（0，2）

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，難度中檔．