已知函數,(>0,,以點為切點作函數圖象的切線,記函數圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為.
(1)求;
(2)求證:<;
(3)設為數列的前項和,求證:<.來
(1);(2)詳見試題分析;(3)詳見試題分析.
解析試題分析:(1)先對求導,根據切點坐標及導數的幾何意義,求出切線的斜率,寫出切線的方程,最后利用定積分計算圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積,可求得數列的通項公式;(2)構造函數(≥0),求導可得,從而函數(≥0)單調遞減,故,從而證得當>0時,<成立,故<,∴=<;(3)由(2):<,由放縮法得<,再結合裂項相消法即可證明來<.
試題解析:(1)易知,切點為,則方程為
即,∴=
(2)構造函數(≥0),則,即函數,(≥0)單調遞減,而,∴,等號在時取得,∴當>0時,<成立,∴知<,∴=<.
(3)<<,∴當時,=<;當時,<<.
方法二:
(1)(2)同方法一;
(3)由(2)知<,
(),
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設函數f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R).
(1)若a=2,b=-2,求函數f(x)的極大值;
(2)若x=1是函數f(x)的一個極值點.
①試用a表示b;
②設a>0,函數g(x)=(a2+14)ex+4.若?ξ1、ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范圍.
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設定義在(0,+∞)上的函數f(x)=ax++b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x,求a,b的值.
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已知函數f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數f(x)的解析式.
(2)當a>0時,討論函數f(x)的單調性.
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已知函數.其中.
(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
(2)若f(x)≤g(x)-1對任意x>0恒成立,求實數的值;
(3)當<0時,對于函數h(x)=f(x)-g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.
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定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.
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