Question

13．如圖所示的幾何體中，四邊形PDCE為矩形，ABCD為直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面PDCE⊥平面ABCD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，PD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若M為PA的中點，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)PC，交DE與N，連結(jié)MN，證明：MN∥AC．然后證明AC∥平面MDE．
（Ⅱ）設(shè)平面PAD與PBC所成銳二面角的大小為θ，以D為空間坐標系的原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面PAD的單位法向量為$\overrightarrow{n_1}$，面PBC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)PC，交DE與N，連結(jié)MN，
△PAC中，M，N分別為兩腰PA，PC的中點，∴MN∥AC．…（2分）
因為MN?平面MDE，又AC?平面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面PAD與PBC所成銳二面角的大小為θ，以D為空間坐標系的原點，
分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則$P（0，0，\sqrt{2}），B（1，1，0），C（0，2，0）$，$\overrightarrow{PB}=（1，1，-\sqrt{2}），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$．
設(shè)平面PAD的單位法向量為$\overrightarrow{n_1}$則可設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，0）．…（7分）
設(shè)面PBC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，1），應(yīng)有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PB}=（x，y，1）•（1，1，-\sqrt{2}）=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=（x，y，1）•（-1，1，0）=0.\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}x+y-\sqrt{2}=0\\-x+y=0.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．…（10分）
$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，∴θ=60°..…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．