【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求曲線在處的切線方程;
(2)討論的單調性;
(3)設、為曲線上的任意兩點,并且,若恒成立,證明:.
【答案】(1);(2)若, 在上遞增;若,時,單調遞增;,單調遞減;(3)證明見解析.
【解析】
(1)將代入可得函數(shù)解析式,求得導數(shù)并代入求得切線的斜率.將代入函數(shù)可得切點坐標,由點斜式即可求得切線方程.
(2)先求得導函數(shù),對分類討論,根據導函數(shù)的符號即可判斷單調性.
(3)根據恒成立及(2)中函數(shù)單調性的討論,可求得.代入函數(shù)并結合不等式即可得.利用定義作差,得,化簡后即可證明.
(1)當時,,
對函數(shù)求導得,
∴,又,
∴曲線在處的切線方程為:;
(2)求導得,
若,,在上遞增;
若,當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減.
(3)由(2)知,若,在上遞增,
又,故不恒成立.
若,當時,遞減,,不合題意.
若,當時,遞增,,不合題意.
若,在上遞增,在上遞減,,合題意.
故,且(當且僅當時取“”).
設,,
∴,
因此,
即
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中真命題的序號為(少填或錯填均不得分)______.若一個球的半徑縮小為原來的一半,則其體積縮小為原來的八分之一;②若兩組數(shù)據的平均值相等,則它們的標準差也相等;③直線與圓相切;④若兩個平面都垂直于同一個平面,則這兩個平面平行.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設計一個隨機試驗,使一個事件的概率與某個未知數(shù)有關,然后通過重復試驗,以頻率估計概率,即可求得未知數(shù)的近似解,這種隨機試驗在數(shù)學上稱為隨機模擬法,也稱為蒙特卡洛法。比如要計算一個正方形內部不規(guī)則圖形的面積,就可以利用撒豆子,計算出落在不規(guī)則圖形內部和正方形內部的豆子數(shù)比近似等于不規(guī)則圖形面積與正方形面積比,從而近似求出不規(guī)則圖形的面積.
統(tǒng)計學上還有一個非常著名的蒲豐投針實驗:平面上間隔的平行線,向平行線間的平面上任意投擲一枚長為的針,通過多次實驗可以近似求出針與任一平行線(以為例)相交(當針的中點在平行線外不算相交)的概率.以表示針的中點與最近一條平行線的距離,又以表示與所成夾角,如圖甲,易知滿足條件:,.
由這兩式可以確定平面上的一個矩形,如圖乙,在圖甲中,當滿足___________(與,之間的關系)時,針與平行線相交(記為事件).可用從實驗中獲得的頻率去近似,即投針次,其中相交的次數(shù)為,則,歷史上有一個數(shù)學家親自做了這實驗,他投擲的次數(shù)是5000,相交的次數(shù)為2550次,,,依據這個實驗求圓周率的近似值_________.(精確到3位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列滿足:對一切,有,其中是與無關的常數(shù),稱數(shù)列上有界(有上界),并稱是它的一個上界,對一切,有,其中是與無關的常數(shù),稱數(shù)列下有界(有下界),并稱是它的一個下界.一個數(shù)列既有上界又有下界,則稱為有界數(shù)列,常值數(shù)列是一個特殊的有界數(shù)列.設,數(shù)列滿足,,.
(1)若數(shù)列為常數(shù)列,試求實數(shù)、滿足的等式關系,并求出實數(shù)的取值范圍;
(2)下面四個選項,對一切實數(shù),恒正確的是.(寫出所有正確選項,不需要證明其正確,但需要簡單說明一下為什么不選余下幾個)
A. 當時, B. 當時,
C. 當時, D. 當時,
(3)若,,且數(shù)列是有界數(shù)列,求的值及的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知極點為直角坐標系的原點,極軸為軸正半軸且單位長度相同的極坐標系中曲線,(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線上的點到曲線距離的最小值;
(Ⅱ)若把上各點的橫坐標都擴大原來為原來的2倍,縱坐標擴大原來的倍,得到曲線,設,曲線與交于,兩點,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)設函數(shù).若存在區(qū)間,使得函數(shù)在上的值域為,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設雙曲線 的左右焦點分別為,過的直線分別交雙曲線左右兩支于點M,N.若以MN為直徑的圓經過點且,則雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
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