Question

1．已知函數(shù)f（x）=|log₃x|，實數(shù)m，n滿足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m²，n]的最大值為2，則$\frac{n}{m}$=9．

Answer 1

分析 由題意f（x）=|log₃x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），即-log₃m=log₃n，可得mn=1．對[m²，n]范圍最大值的可能性進行討論．可求m，n的值．

解答 解：∵f（x）=|log₃x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log₃m=log₃n，∴mn=1．
∵f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為2，函數(shù)f（x）在[m²，1）上是減函數(shù)，在（1，n]上是增函數(shù)，
∴-log₃m²=2，或log₃n=2．
若-log₃m²=2是最大值，得m=$\frac{1}{3}$，則n=3，此時log₃n=1，滿足題意條件．那么：$\frac{n}{m}=3÷\frac{1}{3}=9$
同理：若log₃n=2是最大值，得n=9，則m=$\frac{1}{9}$，此時-log₃m²=4，不滿足題意條件．
綜合可得 m=$\frac{1}{3}$，n=3，故$\frac{n}{m}=9$，
故答案為9．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，考慮最值的討論思想．屬于中檔題．