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1.已知函數(shù)f(x)=|log3x|,實數(shù)m,n滿足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]的最大值為2,則nm=9.

分析 由題意f(x)=|log3x|,正實數(shù)m,n滿足m<n,且f(m)=f(n),即-log3m=log3n,可得mn=1.對[m2,n]范圍最大值的可能性進行討論.可求m,n的值.

解答 解:∵f(x)=|log3x|,正實數(shù)m,n滿足m<n,且f(m)=f(n),∴-log3m=log3n,∴mn=1.
∵f(x)在區(qū)間[m2,n]上的最大值為2,函數(shù)f(x)在[m2,1)上是減函數(shù),在(1,n]上是增函數(shù),
∴-log3m2=2,或log3n=2.
若-log3m2=2是最大值,得m=13,則n=3,此時log3n=1,滿足題意條件.那么:nm=3÷13=9
同理:若log3n=2是最大值,得n=9,則m=19,此時-log3m2=4,不滿足題意條件.
綜合可得 m=13,n=3,故nm=9,
故答案為9.

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),難度不大,考慮最值的討論思想.屬于中檔題.

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