Question

3．已知直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為（1，1），則直線l方程為5x+4y-9=0．

Answer 1

分析 利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得直線MN的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式公式，即可求得l的方程．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（1，1）是線段MN的中點(diǎn)，
則x₁+x₂=8，y₁+y₂=4；
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{20}+\frac{{y}_{1}^{2}}{16}=1①}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{20}+\frac{{y}_{2}^{2}}{16}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得：$\frac{1}{20}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-$\frac{1}{16}$（y₁+y₂）（y₁-y₂），
由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
由題意知，直線l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴直線l的方程為：y-1=-$\frac{4}{5}$（x-1），
整理得：5x+4y-9=0．
故直線l的方程為5x+4y-9=0，
故答案為：5x+4y-9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．