Question

11．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2}{1-cosθ}$．
（ I）求曲線C₂的直角坐標(biāo)系方程；
（ II）設(shè)M₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把$ρ=\frac{2}{1-cosθ}$變形，得到ρ=ρcosθ+2，結(jié)合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t得到曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為2x+y+4=0，由M₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，把|M₁M₂|的最小值轉(zhuǎn)化為M₂到直線2x+y+4=0的距離的最小值．設(shè)M₂（r²-1，2r），然后由點到直線的距離公式結(jié)合配方法求解．

解答 解：（I）由ρ=$\frac{2}{1-cosθ}$可得ρ=x+2，∴ρ²=（x+2）²①，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴x²+y²=ρ（cos²θ+sin²θ）=ρ²②
由①②兩式子可得
y²=4（x+1）；
（Ⅱ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=-4t-2\end{array}$（t為參數(shù)），消去t得：2x+y+4=0．
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為2x+y+4=0．
∵M(jìn)₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直線2x+y+4=0的距離的最小值．
設(shè)M₂（r²-1，2r），M₂到直線2x+y+4=0的距離為d，
則d=$\frac{2|{r}^{2}+r+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2[（r+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]}{\sqrt{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
∴|M₁M₂|的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

點評 本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計算題．