Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+（a-1）lnx$．
（1）當a=2，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到曲線的斜率，求出切點坐標，然后求解切線方程．
（2）求出函數(shù)的定義域，求出導函數(shù)，判斷導函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當a=2時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，
∴$f'（x）=x-2+\frac{1}{x}$，∴$f（1）=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$，f'（1）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為$y=-\frac{3}{2}$．
（2）由題知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=x-a+\frac{a-1}{x}$=$\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x}=\frac{（x-1）（x+1-a）}{x}$，
令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1，由于a＞2時，所以a-1＞1，
在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上f'（x）＞0；在區(qū)間（1，a-1）上f'（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．