Question

9．{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，若a₂=b₂＞0，a₄=b₄＞0，a₂≠a₄，b₁＞0，則（　�。�

• A． a₁＜b₁，a₃＜b₃
• B． a₁＜b₁，a₃＞b₃
• C． a₁＜b₁，a₅＞b₅
• D． a₁＜b₁，a₅＜b₅

Answer 1

分析 設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，a_n=a₂+（n-2）d，b_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$．由a₄=b₄＞0，b₁＞0，則a₂+2d=${a}_{2}{q}^{2}$，解得d=$\frac{{a}_{2}（{q}^{2}-1）}{2}$，對d，q分類討論即可得出．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，a_n=a₂+（n-2）d，b_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$．
∵a₄=b₄＞0，b₁＞0，則a₂+2d=${a}_{2}{q}^{2}$，解得d=$\frac{{a}_{2}（{q}^{2}-1）}{2}$，d＞0時，q＞1．
由q＞1，可得：b_n-b_n-1＜b_n+1-b_n（左邊=b_n-1（q-1），右邊=b_n-1×q（q-1）
∴b₁＞a₁，b₃＜a₃，b_n＞a_n（n＞4）．
∵a₂≠a₄，∴a₁+d≠a₁+3d，即d≠0．
若d＜0，則0＜q＜1，b_n-b_n-1＞b_n+1-b_n，∴a₁＜b₁，a₃＞b₃，a_n＜b_n（n＞4）．
∴無論d正負都有a₁＜b₁，a₃＞b₃，a_n＜b_n（n＞4）．
a₂-a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{4}-{a}_{2}）$=$\frac{1}{2}（_{4}-_{3}+_{3}-_{2}）$＞$\frac{1}{2}（2×（_{2}-_{1}））$=b₂-b₁．∴a₁＜b₁，
同樣可得：a₃＞b₃．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．