Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA+acos（B+C）=0，若$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，則a+b等于（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理，利用三角函數(shù)的恒等變換，求得A、B、C的關(guān)系，再利用正弦定理計(jì)算a+b的值．

解答 解：△ABC中，bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
由正弦定理得sinBsinA-sinAcosA=0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB-cosA=0，即cosA=sinB；
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，即C=A+B=$\frac{π}{2}$；
或B=$\frac{π}{2}$+A，即B-A=$\frac{π}{2}$；
又∵sinC=$\frac{3}{5}$，∴B-A=$\frac{π}{2}$，
∴cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
∴1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
解得sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
∴a+b=$\frac{c}{sinC}$（sinA+sinB）=$\frac{10}{3}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及正弦定理與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．