Question

20．設(shè)P是雙曲線$\frac{2{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上一動點，過點P向圓x²+y²=2作兩條切線（P在圓外），這兩條切線的斜率分別為k₁、k₂，則k₁k₂=4．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），切線方程為y-y₀=k（x-x₀），根據(jù)切線的性質(zhì)列方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出k₁k₂與x₀，y₀的關(guān)系，由P在雙曲線上再得出x₀，y₀的關(guān)系，化簡即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則圓x²+y²=2的過點P的切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
∴圓心（0，0）到切線的距離d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k²x₀²-2kx₀y₀+y₀²=2k²+2，即（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$，
∵P（x₀，y₀）在雙曲線$\frac{2{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上，∴$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}=1$，
即y₀²=4x₀²-6，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}-8}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=4．
故答案為4．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．