Question

11．設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）令b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，由S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．可得：a₁（1+q+q²）=7，6a₂=a₁+3+a₃+4，即6a₁q=a₁+7+${a}_{1}{q}^{2}$，聯(lián)立解得a₁，q．即可得出．
（2）b_n=a_n+n=2^n-1+n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
∴a₁（1+q+q²）=7，6a₂=a₁+3+a₃+4，即6a₁q=a₁+7+${a}_{1}{q}^{2}$，
聯(lián)立解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=a_n+n=2^n-1+n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ-1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．