Question

5．已知向量$\overrightarrow{AB}$=（2-k，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，k）．
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求k的值；
（2）若△ABC為直角三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，若A，B，C三點(diǎn)共線，則有$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，由向量平行的坐標(biāo)表示可得（2-k）k+1=0，解可得k的值．
（2）根據(jù)題意，△ABC為直角三角形，本題可分三種情形，即A是直角，B是直角或C是直角，由向量垂直的坐標(biāo)表示分別求出k的值，綜合即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，若A，B，C三點(diǎn)共線，
則有$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，即（2-k）k+1=0，
解可得：k=1±$\sqrt{2}$；
（2）向量$\overrightarrow{AB}$=（2-k，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，k），則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（k-1，k+1），
若A是直角，則有$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，則有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（2-k）-k=0，解可得k=1；
若B是直角，則有$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，則有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=（2-k）（k-1）-（k+1）=0，此時無解；
若C是直角，則有$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AC}$，則有$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=k²+2k-1=0，解可得k=-1±$\sqrt{2}$，
故k=1或k=-1±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)表示，（2）中注意需要進(jìn)行分類討論．