Question

10．如圖，已知菱形ABEF所在的平面與△ABC所在的平面相互垂直，AB=4，BC=$\sqrt{6}$，BC⊥BE，∠ABE=$\frac{π}{3}$．
（1）求證：BC⊥平面ABEF；
（2）求平面ACF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖，在菱形ABEF中，取AB中點O，可得EO⊥面ABC，EO⊥BC，BC⊥平面ABEF．
（2）由（1）得EO⊥面ABC，BC⊥平面ABEF．以O(shè)為原點，OB，OE所在直線為y、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系O-xyz．則A（0，-2，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{6}$，2，0），F(xiàn)（0，-4，2$\sqrt{3}$），E（0，0，2$\sqrt{3}$）．
求出平面ACF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，利用向量法夾角公式即可求解．

解答 解（1）如圖，在菱形ABEF中，取AB中點O，∵，∠ABE=$\frac{π}{3}$．∴EO⊥AB，
又∵平面ABEF⊥面ABC，平面ABEF∩面ABC=AB，EO?面ABEF
∴．EO⊥面ABC，則EO⊥BC，又∵BC⊥BE，且BE∩EO=E
∴BC⊥平面ABEF．
（2）由（1）得EO⊥面ABC，BC⊥平面ABEF．
∴以O(shè)為原點，OB，OE所在直線為y、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系O-xyz．
則A（0，-2，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{6}$，2，0），F(xiàn)（0，-4，2$\sqrt{3}$），E（0，0，2$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面ACF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{6}，4，0），\overrightarrow{AF}=（0，-2，2\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{6}x+4y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=-2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$取$\overrightarrow{m}=（4，-\sqrt{6}．-\sqrt{2}）$．
設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
$\overrightarrow{CE}=（-\sqrt{6}，-2，2）$，$\overrightarrow{CB}=（-\sqrt{6}，0，0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{6}a-2b+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-\sqrt{6}a=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$．
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}×2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴平面ACF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．