Question

14．過點(diǎn)A（1，0）的直線l與橢圓$C：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，自E，F(xiàn)分別向直線x=3作垂線，垂足分別為E₁，F(xiàn)₁．
（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△AEE₁，△AFF₁的面積分別為S₁，S₂．設(shè)λ=S₁S₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，直線l的方程為y=x-1，與橢圓方程聯(lián)立得2x²-3x=0．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），線段EF的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立（m²+3）y²+2my-2=0，顯然m∈R．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），E₁（3，y₁），F(xiàn)₁（3，y₂）．由λ=S₁S₂=$\frac{1}{2}（3-{x}_{1}）|{y}_{1}|$×$\frac{1}{2}（3-{x}_{2}）|{y}_{2}|$=$\frac{1}{4}$$[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}]$|y₁y₂|，代入根與系數(shù)的關(guān)系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意，直線l的方程為y=x-1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，得2x²-3x=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），線段EF的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₀=$\frac{3}{4}$，
y₀=x₀-1=-$\frac{1}{4}$．所以M$（\frac{3}{4}，-\frac{1}{4}）$．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，
得（m²+3）y²+2my-2=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$．
E₁（3，y₁），F(xiàn)₁（3，y₂）．
因?yàn)棣?S₁S₂=$\frac{1}{2}（3-{x}_{1}）|{y}_{1}|$×$\frac{1}{2}（3-{x}_{2}）|{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}$（2-my₁）（2-my₂）|y₁y₂|=$\frac{1}{4}$$[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}]$|y₁y₂|=$\frac{{2{m^2}+6+2{m^2}-{m^2}}}{{2（{m^2}+3）}}•\frac{2}{{{m^2}+3}}$=$\frac{{3{m^2}+6}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}$=$-\frac{3}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}+\frac{3}{{{m^2}+3}}$．
因?yàn)?\frac{1}{{{m^2}+3}}∈（0，\frac{1}{3}]$，
所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（0，\frac{2}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．