Question

17．以下結論正確的是（　�。�

• A． 一個圓柱的側面展開圖是一個長、寬分別為6和4的長方形，則這個圓柱的體積一定是等于$\frac{36}{π}$
• B． 命題“?x₀∈R，x₀²+x₀-1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x-1＞0”
• C． 若ω≠0時，“φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z”是“函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)”的充要條件
• D． 已知⊙O：x²+y²=r²，定點P（x₀，y₀），直線l：x₀x+y₀y=r²，若點P在⊙O內，則直線l與⊙O相交

Answer 1

分析 求出母線長為6，底面周長為4時的圓柱體積判斷A；寫出命題的否定判斷B；由充分必要條件的判定方法判斷C；由已知求出原點到直線的距離，比較與半徑的關系判斷D．

解答 解：當母線長為6時，圓柱的底面周長為2πr=4，r=$\frac{2}{π}$，則圓柱的體積V=$π×（\frac{2}{π}）^{2}×6=\frac{24}{π}$，故A錯誤；
命題“?x₀∈R，x₀²+x₀-1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x-1≥0”，故B錯誤；
ω≠0，由φ=kπ+$\frac{π}{2}$，得f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+kπ+$\frac{π}{2}$）=cos（ωx+kπ）=±cosωx，f（x）為偶函數(shù)，
反之，若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)，則f（x）-f（-x）=0，即sin（ωx+φ）-sin（-ωx+φ）=0，
∴2cosφ•sinωx=0，則φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），故若ω≠0時，“φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z”是“函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)”的充要條件；
由點P在⊙O內，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜{r}^{2}$，而原點O到直線l：x₀x+y₀y=r²的距離d=$\frac{{r}^{2}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}＞r$，∴直線l與⊙O相離，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查學生對基礎知識的綜合運用與掌握，屬中檔題．