Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，試用三種方法求A₁C與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：解法一：線面垂直方法；
解法二：建立空間直角坐標系，向量法；
解法三：補形法（平移法）．

解答： 解法一：如圖所示，連接B₁C，A₁E．
則A₁B₁⊥BC₁，BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥A₁C，
∴A₁C與BC₁所成角的余弦值=0．
解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系．
不妨設(shè)AB=1．則A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1）．
∴

A1C

=（-1，1，-1），

BC1

=（-1，0，1）．
∴

A1C

•

BC1

=1+0-1=0，
∴A₁C與BC₁所成角的余弦值為0．
解法三：如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁后面再補一個與之全等的正方體．
連接CF，A₁F．
不妨設(shè)AB=1，則A₁C=

3

，CF=

2

，
A₁F=

5

．
∴A1C2+CF2=A1F2．
∴A₁C⊥CF．
∴A₁C⊥BC₁．
∴A₁C與BC₁所成角的余弦值為0．

點評：本題考查了利用多種方法求異面直線所成的角、正方體的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．