【題目】已知函數(shù).

1)若時,直線是曲線的一條切線,求b的值;

2)若,且上恒成立,求a的取值范圍;

3)令,且在區(qū)間上有零點,求的最小值.

【答案】(1)(2) (3)

【解析】

(1) 設(shè)切點,求出在點A處的切線,因為的一條切線,對應(yīng)值相等即可得解;(2),求導(dǎo)數(shù),分討論導(dǎo)數(shù)的符號從而判斷函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式恒成立;(3) 求出的表達式,并設(shè)上的一個零點為,由解得,則,令利用的導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得解.

解:(1)當(dāng)時,,

設(shè)切點,則在點A處的切線為,

化簡得,

因為的一條切線,

,,解得;

2)當(dāng)時,令

.

,則當(dāng)時,恒成立,上單調(diào)遞增,

,即符合題意;

時,由,得

當(dāng)時,,上單調(diào)遞減,

,與已知上恒成立矛盾,舍去.

綜上, .

3)法一:.

,則在區(qū)間上恒成立,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因為在區(qū)間上有零點,

所以

解得.

所以,

當(dāng)時,等號成立,此時.

時,當(dāng)時,上單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,上單調(diào)遞增.

因為在區(qū)間上有零點

所以,

所以,

所以

,

,所以在(2)上單調(diào)遞減.

所以.

,則在區(qū)間上恒成立,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

因為叫在區(qū)間上有零點,

所以

解得.

所以,

當(dāng)時,等號成立,此時;

綜上,的最小值是.

法二:

設(shè)上的一個零點為,

,

,當(dāng)時等號成立,

,則,

因為,則,

,所以的區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以的最小值為

的最小值為.

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C. C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2

D. C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2

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