Question

19．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-4y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}}\right.$，則z=3|x|+y的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由線性約束條件畫出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為分段函數(shù)，根據(jù)角點(diǎn)法，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-4y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}}\right.$，表示的平面區(qū)域，如圖所示：

z=3|x|+y，$可得y=-3|x|+z=\left\{\begin{array}{l}{-3x+z，x≥0}\\{3x+z，x＜0}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得A（-1，0），此時(shí)z=3，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$可得B（0，2），此時(shí)z=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$可得C（$\frac{7}{5}$，$\frac{3}{5}$），此時(shí)z=$\frac{24}{5}$
x-4y+1=0$時(shí)，x=0，y=\frac{1}{4}$，此時(shí)z=$\frac{1}{4}$
z=3|x|+y的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 在線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定是區(qū)域的頂點(diǎn)和邊界，在邊界上的值也等于在這個(gè)邊界上的頂點(diǎn)的值，故在解答，只要能把區(qū)域的頂點(diǎn)求出，直接把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行檢驗(yàn)即可．