(2013•嘉定區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k的值;
(2)(理)若f(1)=
32
,且g(x)=a2x+a-2x-2m•f(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.
(文)若f(1)<0,試說(shuō)明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義:對(duì)任意x∈R,f(-x)=-f(x),或性質(zhì)可得f(0)=0,由此求得k值.
(2)(理)利用換元法,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)g(x)取得最小值.利用條件,就可以求m的值.
(文)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得0<a<1,f(x)在R上單調(diào)遞減,不等式化為f(x2+tx)<f(x-4),即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由△<0求得t的取值范圍.
解答:解:(1)由題意,對(duì)任意x∈R,f(-x)=-f(x),
即a-x-(k-1)ax=-ax+(k-1)a-x,
即(k-1)(ax+a-x)-(ax+a-x)=0,(k-2)(ax+a-x)=0,
因?yàn)閤為任意實(shí)數(shù),所以k=2. 
解法二:因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,即1-(k-1)=0,k=2.
當(dāng)k=2時(shí),f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),f(x)是奇函數(shù).
所以k的值為2.
(2)(理)由(1)f(x)=ax-a-x,因?yàn)?span id="fyp9wdc" class="MathJye">f(1)=
3
2
,所以a-
1
a
=
3
2
,
解得a=2.
故f(x)=2x-2-x,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x),
令t=2x-2-x,則22x+2-2x=t2+2,由x∈[1,+∞),得t∈[
3
2
 , +∞)
,
所以g(x)=h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈[
3
2
 , +∞)

當(dāng)m<
3
2
時(shí),h(t)在[
3
2
 , +∞)
上是增函數(shù),則h(
3
2
)=-2
,
9
4
-3m+2=-2
,
解得m=
25
12
(舍去).
當(dāng)m≥
3
2
時(shí),則f(m)=-2,2-m2=-2,解得m=2,或m=-2(舍去).
綜上,m的值是2.
(2)(文)由(1)知f(x)=ax-a-x,由f(1)<0,得a-
1
a
<0
,解得0<a<1.
當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax是減函數(shù),y=-a-x也是減函數(shù),所以f(x)=ax-a-x是減函數(shù).
由f(x2+tx)+f(4-x)<0,所以f(x2+tx)<-f(4-x),
因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x2+tx)<f(x-4).
因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),所以x2+tx>x-4即x2+(t-1)x+4>0對(duì)任意x∈R成立,
所以△=(t-1)2-16<0,
解得-3<t<5.
所以,t的取值范圍是(-3,5).
點(diǎn)評(píng):本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用,考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于中檔題.
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1
|x-1|
,x≠1
1,x=1
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3個(gè)不同的整數(shù)解x1,x2,x3,則x12+x22+x32等于
5
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x2+b
)
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2
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