Question

1．對任意的x，y∈（0，+∞），不等式e^x+y-4+e^x-y+4+6≥4xlna恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}e$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 通過參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問題轉(zhuǎn)化為2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0時恒成立，記g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，二次求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性可知當(dāng)x=4時g（x）取得最小值g（4）=1，進(jìn)而計算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+y-4+e^x-y+4+6，
不等式4xlna≤e^x+y-4+e^x-y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x（e^y-4+e^-（y-4））+6≥6+2e^x（當(dāng)且僅當(dāng)e^y-4=e^-（y-4），即y=0時，取等號），
由不等式e^x+y-4+e^x-y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2e^x-4，
即有2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0時恒成立，
令g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x-4}（x-1）-3}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，即（x-1）e^x-4=3，
令h（x）=（x-1）e^x-4，（x＞0），h′（x）=xe^x-4＞0，
∵x＞0，e^x-4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵h(yuǎn)（4）=3，即有（x-1）e^x-4=3的根為4，
∴當(dāng)x＞4時g（x）遞增，當(dāng)0＜x＜4時g（x）遞減，
∴當(dāng)x=4時，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna?1，lna?$\frac{1}{2}$，
∴0＜a?$\sqrt{e}$，（當(dāng)x=2，y=0時，a取得最大值$\sqrt{e}$），
故選A．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中檔題．