Question

17．若存在t∈R與正數(shù)m，使F（t-m）=F（t+m）成立，則稱“函數(shù)F（x）在x=t處存在距離為2m的對稱點(diǎn)”，設(shè)f（x）=$\frac{{x}^{2}+λ}{x}$（x＞0），若對于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），總存在正數(shù)m，使得“函數(shù)f（x）在x=t處存在距離為2m的對稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． （1，2]
• C． [1，2]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 喲題意可得代入函數(shù)式，化簡整理，可得λ=t²-m²有解，結(jié)合函數(shù)f（x）可得λ＞0（否則單調(diào)），求得m的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：若對于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
總存在正數(shù)m，使得“函數(shù)f（x）在x=t處存在距離為2m的對稱點(diǎn)”，
則對于任意t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
$\frac{{（t-m）}^{2}+λ}{t-m}$=$\frac{{（t+m）}^{2}+λ}{t+m}$有解，
即$t-m+\frac{λ}{t-m}$=$t+m+\frac{λ}{t+m}$有解，
即1=$\frac{λ}{{t}^{2}-{m}^{2}}$有解，
即λ=t²-m²有解，
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+λ}{x}$（x＞0）具有對稱性，
故λ＞0，即有m＜t，即有0＜m≤$\sqrt{2}$，
由于t∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），故t²-m²∈（0，2]．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，注意運(yùn)用對勾函數(shù)的性質(zhì)，以及恒成立思想的運(yùn)用，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．