2.設函數(shù)y=loga($\frac{x-3}{x+3}$)(a>0,且a≠1)的定義域為[s,t),值域為(logaa(t-1),logaa(s-1)],求a的取值范圍.

分析 分析出函數(shù)的單調(diào)性,進而判斷出底數(shù)的取值范圍,進而根據(jù)函數(shù)的定義域為值域構(gòu)造出方程組,將其轉(zhuǎn)化為整式方程組后,構(gòu)造函數(shù),利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得答案.

解答 解:∵s<t
∴at-a>as-a
又∵logaa(t-1)<logaa(s-1),
∴0<a<1
又∵u=$\frac{x-3}{x+3}$=1-$\frac{6}{x+3}$在[s,t)上單調(diào)遞增
∴y=loga$\frac{x-3}{x+3}$在[s,t)上單調(diào)遞減
∴$\frac{x-3}{x+3}$=ax-a有兩個大于3的相異的根
即ax2+(2a-1)x+3-3a=0有兩個大于3的相異的根
令h(x)=ax2+(2a-1)x+3-3a,
則$\left\{\begin{array}{l}0<a<1\\△=1-4a(2-a)>0\\ h(3)=12a>0\\ \frac{-2a-1}{2a}>3\end{array}\right.$
解得0<a<$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),復合函數(shù)的單調(diào)性,方程根與函數(shù)零點的關(guān)系,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是函數(shù)問題比較綜合的應用.

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