Question

12．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，點E為AD₁的中點，點F在AB上．若EF⊥平面AB₁C，則線段EF的長度等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由正方體的性質(zhì)可得：AO⊥平面BDD₁．可得AC⊥BD₁，可得BD₁⊥平面ACB₁．由EF⊥平面AB₁C，可得EF∥BD₁，可得EF為△ABD₁的中位線，即可得出．

解答 解：如圖所示．
由正方體的性質(zhì)可得：AO⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁，
同理可得BD₁⊥AB₁，又AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面ACB₁．
又EF⊥平面AB₁C，
∴EF∥BD₁，又點E為AD₁的中點，
∴點F為AB的中點，
而$B{D}_{1}=\sqrt{3}$AB，
∴EF=$\frac{1}{2}B{D}_{1}$=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中點題．