Question

6．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右兩焦點，點P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，且點Q是線段PF₂的中點，則${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$（e為橢圓的離心率）的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 連接PF₁，OQ，運用中位線定理可得|F₁P|=2|OQ|=2b，由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-2b，運用勾股定理，化簡可得3b=2a，e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求得${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$），運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：連接F₁P，OQ，因為點Q為線段PF₂的中點，所以|F₁P|=2|OQ|=2b，
由橢圓的定義得|PF₂|=2a-2b，由F₁P⊥F₂P，得（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，解得2a=3b，e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a•\frac{5}{9a}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（當且僅當a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時等號成立）．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查最值的求法，注意運用橢圓的定義和基本不等式，考查圓的切線的性質(zhì)的運用，以及中位線定理和勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．