Question

12．已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后．得到如圖所示的，且這個(gè)幾何體的體積為$\frac{40}{3}$．
（1）求幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積；
（2）若點(diǎn)P在線段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，求線段A₁P的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積減去切除的三棱錐的體積=幾何體的體積，求出A₁A的長(zhǎng)度，求解各平面的面積可得幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積；
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，過(guò)Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P，則A₁P⊥C₁D，證明C₁D⊥PA₁，利用△C₁D₁Q∽△CC₁D，求C₁Q=1，證明四邊形PQ₁A₁為直角梯形，運(yùn)用勾股定理求線段A₁P的長(zhǎng)．

解答 解：（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積減去切除的三棱錐的體積=幾何體的體積，即${V}_{ABCD-{{A}_{1}B}_{1}{C}_{1}}={V}_{A{C}_{1}}-{V}_{B-A{B}_{1}{C}_{1}}$=$2×2×A{A}_{1}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×A{A}_{1}=\frac{10}{3}A{A}_{1}$=$\frac{40}{3}$，
∴AA₁=4
∴A₁B=C₁B=2$\sqrt{5}$，A₁C₁=$2\sqrt{2}$，設(shè)A₁C₁D₁的中點(diǎn)H，
則BH=$3\sqrt{2}$．
∴${S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$
幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積S=3×8+4+2+6=36．
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，
過(guò)Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P，則A₁P⊥C₁D．
∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D₁?平面CC₁D₁
∴A₁D₁⊥C₁D，
而QP∥CB，A₁D₁∥CB，∴QP∥A₁D₁
又∵A₁D₁∩QD₁
∴C₁D⊥平面PQC₁A₁
∵C₁D?平面PQC₁A₁且PA₁?平面PQC₁A₁，
∴C₁D⊥PA₁
∵△C₁D₁Q∽△CC₁D，
∴$\frac{{C}_{1}Q}{CD}=\frac{{{D}_{1}C}_{1}}{{C}_{1}C}$，
∴C₁Q=1，
又∵QP∥CB，
∴QP=$\frac{1}{4}$CB=$\frac{1}{2}$
∴四邊形PQD₁A₁為直角梯形，且高D₁Q=$\sqrt{5}$．
∴PA₁=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+5}=\frac{\sqrt{29}}{2}$．
故得點(diǎn)P在線段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，線段A₁P的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{29}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了立體幾何的體積計(jì)算，考查了線面、面面平行，線面、面面垂直等簡(jiǎn)單的立體幾何知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的掌握情況以及空間想象、推理能力，是中檔題．