Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）如果N是棱AB上一點，且三棱錐N-BMC的體積為$\frac{1}{3}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，推導出AB⊥AC，PA⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAC．
（2）設(shè)$\frac{BN}{AB}=x$，由${V_{N-BMC}}={V_{M-BNC}}=x{V_{M-ABC}}=\frac{x}{2}{V_{M-ABCD}}=\frac{x}{4}{V_{P-ABCD}}$，能求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，因為在△ABC中，$AB=AC=2，BC=2\sqrt{2}$，
所以BC²=AB²+AC²，
所以AB⊥AC．因為AB∥CD，所以AC⊥CD．
又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因為AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC…（5分）
解：（2）設(shè)$\frac{BN}{AB}=x$，因為PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，
所以${V_{N-BMC}}={V_{M-BNC}}=x{V_{M-ABC}}=\frac{x}{2}{V_{M-ABCD}}=\frac{x}{4}{V_{P-ABCD}}$，
∴${V_{N-BMC}}=\frac{x}{4}×\frac{1}{3}×（{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}）×2=\frac{1}{3}$，
解得$x=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AN}{NB}=1$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．