Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點為F₂，點M在圓x²+y²=b²上，且M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P，Q兩點．若△PF₂Q的周長為4，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，利用△PF₂Q的周長為4，可得結(jié)論．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，則a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴|PF₂|²=（x₁-c）²+y₁²=$\frac{1}{4}$（x₁-4c）²，
∴|PF₂|=2c-$\frac{1}{2}$x₁，
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-3c²=$\frac{1}{4}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=2c，
同理可求|QF₂|+|QM|=2c，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=4c．
∵△PF₂Q的周長為4，∴c=1，
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．