Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+1．
（1）若x=1時，f（x）取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由條件“f（x）在x=1處取得極值”可得f′（1）=0，解方程即可；
（2）先求導數(shù)f′（x），然后討論a的值，判斷f′（x）的正負，進而得到f（x）在[0，1]上的單調性，即可得到f（x）在[0，1]上的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-a，
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=0，解得a=1；
（2）f′（x）=x²-a，
①當-a≥0，即a≤0時，f′（x）=x²≥0，
則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
所以f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1；
②當-a＜0，即a＞0時，
由f′（x）=x²-a＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，所以f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；
由f′（x）=x²-a＜0得-

a

＜x＜

a

，所以f（x）的單調減區(qū)間為（-

a

，

a

）；
所以當a≥1時，f（x）在[0，1]上單調遞減，
所以f（x）的最小值為f（1）=

4

3

-a；
當0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

）上單調遞減，在（

a

，1]上單調遞增，
所以f（x）的最小值為f（

a

）=

1

3

（

a

）³-a

a

+1=1-

2

3

a

a

；
綜上所述，當a≤0時，f（x）的最小值為f（0）=1；
當0＜a＜1時，f（x）的最小值為f（

a

）=

1

3

（

a

）³-a

a

+1=1-

2

3

a

a

；
當a≥1時，f（x）的最小值為f（1）=

4

3

-a．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．