Question

已知奇函數f（x）=a^x-（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）的定義域為R．
（1）求實數k的值；
（2）若f（1）=1，令g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），求實數m的取值范圍，使得g（x）＞0在[1，+∞）恒成立．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義和性質，利用f（0）=0，即可求實數k的值；
（2）由f（1）=1，求出a的值，然后根據不等式g（x）＞0在[1，+∞）恒成立，轉化為求函數的最值即可得到結論．

解答： 解（1）∵f（x）為奇函數，且定義域為R，
∴f（0）=0，
即a⁰-（k-1）a⁰=0，
解得k=0；
（2）∵f（1）=1，
∴a-

1

a

=1，解得a=

1± 5

2

（舍去負的），
∵g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=（a^x-a^-x）²-2m（a^x-a^-x）+2，
∴令t=a^x-a^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=1，
令h（t）=t²-2mt+2（t≥1），
若m≥1，當則t=m時，h(t)min=2-m2＞0，解得1≤m＜

2

；
若m＜1，當t=1時，h（t）_min=3-2m＞0，解得m＜1，；
綜上可知m＜

2

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及根據指數函數的性質解決不等式恒成立問題，考查學生的計算能力．