Question

已知f(x)=lg(

4x2+b

+2x)，其中b是常數(shù)．
（1）若y=f（x）是奇函數(shù)，求b的值；
（2）求證：y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB平行于x軸．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）+f（-x）=0，化簡求得b的值．
（2）設(shè)定義域內(nèi)任意x₁＜x₂，設(shè)h(x)=

4x2+b

+2x，用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明h（x）在函數(shù)的定義域內(nèi)是增函數(shù)，可得f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f(x)=lg(

4x2+b

+2x) 是奇函數(shù)，
所以對定義域內(nèi)任意x，都有f（x）+f（-x）=0，即 lg(

4x2+b

+2x)+lg(

4x2+b

-2x)=0，
即 lgb=0，可得b=1．
此時(shí)，f(x)=lg(

4x2+1

+x)，為奇函數(shù)．   
（2）設(shè)定義域內(nèi)任意x₁＜x₂，設(shè)h(x)=

4x2+b

+2x，
∵h(x1)-h(x2)=

4x12+b

+2x1-

4x22+b

-2x2=2[

2x12-2x22

4x12+b + 4x22+b

+x1-x2] 
=2(x1-x2)(

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

+1)，
當(dāng)b≤0時(shí)，總有0≤x₁＜x₂，∴0＜

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

＜1，可得h（x₁）＜h（x₂）．
當(dāng)b＞0時(shí)，∵x1-x2＜0，

4x12+b

≥2x1，

4x22+b

≥2x2，
∴-1＜

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

＜1，得h（x₁）＜h（x₂）．
故總有f（x）在定義域上單調(diào)遞增，∴y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)，
使得所連的直線與x軸平行．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題