Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，點E是PC的中點，且平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求異面直線PD與AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若點F在PC邊上移動，是否存在點F使平面BFD與平面APC所成的角為90°？若存在，則求出點F坐標，否則說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出直線對應的向量，利用向量法即可求異面直線PD與AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面的法向量，根據(jù)平面BFD與平面APC所成的角為90°，建立方程關(guān)系進行求解判斷即可．

解答 解：（Ⅰ） 因為平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
故AB=BC=AC=PC=PB=2，
取BC中點O，則AO⊥BC，PO⊥BC，PO⊥A
以O(shè)為坐標原點，OP為x軸，OC為y軸建立平面直角坐標系，
O（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，-1，0），C（0，1，0），P（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，2，$\sqrt{3}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
則$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
則|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，則$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{AC}$=2-3=-1，
設(shè)異面直線PD與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{AC}|}$=|$\frac{-1}{2\sqrt{10}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
所以異面直線PD與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
（Ⅱ）設(shè)存在點F，使平面BFD與平面APC所成的角為90°，
設(shè)F（a，b，0），因為P，C，F(xiàn)三點共線，$\overrightarrow{PF}$=（a-$\sqrt{3}$，b，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PC}$，
則（a-$\sqrt{3}$，b，0）=λ（-$\sqrt{3}$，1，0），
所以a=（1-λ）$\sqrt{3}$，b=λ，則F（（1-λ）$\sqrt{3}$，λ，0），
設(shè)平面BFD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{3y+\sqrt{3}z=0}\\{（1-λ）\sqrt{3}x+（λ+1）y=0}\end{array}\right.$
令y=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（$\frac{λ+1}{λ-1}$，$\sqrt{3}$，-3），|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{（\frac{λ+1}{λ-1}）^{2}+12}$，
設(shè)平面APC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5}$，
又$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1）•（$\frac{λ+1}{λ-1}$，$\sqrt{3}$，-3）=$\frac{λ+1}{λ-1}$，
若平面BFD與平面APC所成的角為90°，則cos90°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{λ+1}{λ-1}}{\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{λ+1}{λ-1}）^{2}+12}}$=0，
故$\frac{λ+1}{λ-1}$=0，即λ=-1，此時E（2$\sqrt{3}$，-1，0），點F在CP延長線上，
所以，在PC邊上不存在點F使平面BFD與平面APC所成的角為90°

點評 本題主要考查異面直線所成的角以及二面角的計算，建立坐標系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．