Question

4．三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)郡在同一球面上，球心在面ABC上的射影為H，H在棱BC上，AP⊥面ABC，且AP=1，PB=PC=$\sqrt{2}$．則此球的體積為（　�。�

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{3π}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}π}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{2}$

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出AB=AC=1，AH=BH=CH，從而AB⊥AC，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出球半徑R，由此能求出此球的體積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)郡在同一球面上，球心在面ABC上的射影為H，
H在棱BC上，AP⊥面ABC，且AP=1，PB=PC=$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=1，AH=BH=CH，
∴AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），
H（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），設(shè)球心O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，z$），
則|OA|=|OP|，即$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+{z}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+（z-1）^{2}}$，
解得z=$\frac{1}{2}$，
∴球半徑R=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴此球的體積為V=$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．