Question

10．已知數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．設a_n1，a_n2，…，a_nt（其中n₁＜n₂＜…＜n_t，t∈N^*）成等差數列．
（1）若t=3．
①當n₁，n₂，n₃為連續(xù)正整數時，求n₁的值；
②當n₁=1時，求證：n₃-n₂為定值；
（2）求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）t=3，①依題意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差數列，根據等差數列等差中項及通項公式，分類討論當n₁為奇數或偶數時，分別求得n₁的值；
②a₁，a_n2，a_n3成等差數列，根據等差中項可知：$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，分別當n₂，n₃為奇數或偶數時，即可求得n₃-n₂=1，因此n₃-n₂為定值；
（2）設a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差數列，根據數列等差中項定義，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，分類討論t=r+1，求得s的值，當t≥r+2，求得s的值，最后求得a₁，a_r，a_r+1成等差數列或a₂，a_r，a_r+1成等差數列，其中r為奇數，即可求得t的最大值．

解答 解：（1）①依題意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差數列，即2${a}_{{n}_{1}+1}$=${a}_{{n}_{1}}$+${a}_{{n}_{1}+2}$，
從而$2[{{2^{{n_1}+1}}-{{（-1）}^{{n_1}+1}}}]={2^{n_1}}-{（-1）^{n_1}}+{2^{{n_1}+2}}-{（-1）^{{n_1}+2}}$，
當n₁為奇數時，解得${2^{n_1}}=-4$，不存在這樣的正整數n₁；
當n₁為偶數時，解得${2^{n_1}}=4$，所以n₁=2．（3分）
②依題意，a₁，a_n2，a_n3成等差數列，即2a_n2=a₁+a_n3，
從而$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，
當n₂，n₃均為奇數時，${2^{n_2}}-{2^{{n_3}-1}}=1$，左邊為偶數，故矛盾；
當n₂，n₃均為偶數時，${2^{{n_2}-1}}-{2^{{n_3}-2}}=1$，左邊為偶數，故矛盾；
當n₂為偶數，n₃奇數時，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=5$，左邊為偶數，故矛盾；
當n₂為奇數，n₃偶數時，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=0$，即n₃-n₂=1．（8分）
（2）設a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差數列，則2a_r=a_s+a_t，
即2[2^r-（-1）^r]=2^s-（-1）^s+2^t-（-1）^t，
整理得，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，
若t=r+1，則2^s=（-1）^s+-3（-1）^r，因為2^s≥2，所以（-1）^s+-3（-1）^r只能為2或4，
所以s只能為1或2；（12分）
若t≥r+2，則2^s+2^t-2^r+1≥2^s+2^r+2-2^r+1≥2+2⁴-2³=10，（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r≤4，
故矛盾，
綜上，只能a₁，a_r，a_r+1成等差數列或a₂，a_r，a_r+1成等差數列，其中r為奇數，
從而t的最大值為3．（16分）

點評 本題考查了等差數列的通項公式及等差中項的定義，考查分類討論思想，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．