Question

12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為$a，b，c，\frac{a-b+c}{c}=\frac{a+b-c}$，若a=2，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知化簡可得：b²+c²-a²=bc，由余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵$\frac{a-b+c}{c}=\frac{a+b-c}$，可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a=2，
∴由余弦定理可得：4=b²+c²-bc，
∴4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即：bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c等號(hào)成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c等號(hào)成立，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．