15.已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-3x+2),其中a為參數(shù).
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線的斜率,利用點(diǎn)斜式方程,即可求得函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系,分別求得函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)方法一:由(2)可知:分類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,求得f(x)的最值,即可求得a的取值范圍;
方法二:設(shè)g(x)=2ax2-3ax+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),分類討論,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lnx,f(1)=0,
求導(dǎo)f′(x)=$\frac{1}{x}$,f′(1)=1,
f(x)在x=1處的切線斜率k=1,則y-0=1×(x-1),整理得:y=x-1,;
∴函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程y=x-1;…(3分)
(2)f(x)=lnx+a(x2-3x+2),定義域?yàn)椋?,+∞)$f'(x)=\frac{1}{x}+a(2x-3)=\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$,設(shè)g(x)=2ax2-3ax+1,
①當(dāng)a=0時(shí),g(x)=1,故f'(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以無(wú)極值點(diǎn).…(4分)
②當(dāng)a>0時(shí),△=9a2-8a,
若0<a≤$\frac{8}{9}$時(shí)△≤0,g(x)≥0,故f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上遞增,所以無(wú)極值點(diǎn).
若a>$\frac{8}{9}$時(shí)△>0,設(shè)g(x)=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為x1,x2,且x1<x2,
且${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$,而g(0)=1>0,則$0<{x_1}<\frac{3}{4}<{x_2}$,
所以當(dāng)x∈(0,x1),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(x1,x2),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x2,+∞),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以此時(shí)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn);…(7分)
③當(dāng)a<0時(shí)△>0,設(shè)g(x)=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為x1,x2,且x1<x2,
但g(0)=1>0,所以x1<0<x2,
所以當(dāng)x∈(0,x2),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞増;
當(dāng)x∈(x2,+∞),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以此時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上得:
當(dāng)a<0時(shí)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時(shí)f(x)的無(wú)極值點(diǎn);
當(dāng)a>$\frac{8}{9}$時(shí),f(x)的有兩個(gè)極值點(diǎn).…(9分)
(3)方法一:當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時(shí),由(2)知f(x)在[1,+∞)上遞增,
所以f(x)≥f(1)=0,符合題意; …(10分)
當(dāng)$\frac{8}{9}$<a≤1時(shí),g(1)=1-a≥0,x2≤1,f(x)在[1,+∞)上遞增,所以f(x)≥f(1)=0,符合題意;    …(12分)
當(dāng)a>1時(shí),g(1)=1-a<0,x2>1,所以函數(shù)f(x)在(1,x2)上遞減,所以f(x)<f(1)=0,不符合題意;          …(14分)
當(dāng)a<0時(shí),由(1)知lnx≤x-1,于是f(x)=lnx+a(x2-3x+2)≤x-1+a(x2-3x+2)
當(dāng)$x>2-\frac{1}{a}$時(shí),x-1+a(x2-3x+2)<0,此時(shí)f(x)<0,不符合題意.
綜上所述,a的取值范圍是0≤a≤1.…(16分)
方法二:g(x)=2ax2-3ax+1,注意到對(duì)稱軸為$x=\frac{3}{4}$,g(1)=1-a,
當(dāng)0≤a≤1時(shí),可得g(x)≥0,故f(x)在[1,+∞)上遞增,所以f(x)≥f(1)=0,符合題意;
當(dāng)a>1時(shí),g(1)=1-a<0,x2>1,所以函數(shù)f(x)在(1,x2)上遞減,此時(shí)f(x)<f(1)=0,不符合題意;
當(dāng)a<0時(shí),由(1)知lnx≤x-1,于是f(x)=lnx+a(x2-3x+2)≤x-1+a(x2-3x+2)
當(dāng)$x>2-\frac{1}{a}$時(shí),x-1+a(x2-3x+2)<0,此時(shí)f(x)<0,不符合題意.
綜上所述,s的取值范圍是0≤a≤1.…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系,考查二次函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想,考查計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.[1,$\sqrt{2}$]B.[$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$]C.[2,2$\sqrt{2}$]D.[1,2$\sqrt{2}$]

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(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若?x>0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

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