Question

20．已知函數(shù)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，$f（1）=\frac{1}{e}$，對任意實(shí)數(shù)都有f（x）-f'（x）＞0，則不等式f（x）＜e^x-2的解集為（　�。�

• A． （-∞，e）
• B． （1，+∞）
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由已知f（x）-f'（x）＞0，可聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，把要求解的不等式轉(zhuǎn)化為g（x）＜g（1）得答案．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}•f′（x）-{e}^{x}•f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$．
∵對任意實(shí)數(shù)都有f（x）-f'（x）＞0，
∴g′（x）＜0，即g（x）為R上的減函數(shù)．
g（1）=$\frac{f（1）}{e}=\frac{1}{{e}^{2}}$．
由f（x）＜e^x-2，得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}＜\frac{1}{{e}^{2}}$，即g（x）＜g（1）．
∵g（x）為R上的減函數(shù)，
∴x＞1．
∴不等式f（x）＜e^x-2的解集為（1，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．