Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=sint\end{array}\right.$（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線的極坐標(biāo)方程是$2ρsin（α+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為θ=α₀，其中α₀滿足tanα₀=2，曲線C₁與圓C的交點為O，P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（2）設(shè)（ρ₁，θ₁）為點P的極坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，求出$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，設(shè)（ρ₂，θ₂）為點Q的極坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求出$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=\frac{2}{3}\sqrt{5}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，由θ₁=θ₂，能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（2）設(shè)（ρ₁，θ₁）為點P的極坐標(biāo)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，
設(shè)（ρ₂，θ₂）為點Q的極坐標(biāo)，
則$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}cos\frac{π}{4}+cos{θ_2}sin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=\frac{2}{3}\sqrt{5}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，
由于θ₁=θ₂，∴$|PQ|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\frac{4}{15}\sqrt{5}$，
∴線段PQ的長為$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．