Question

6．已知傾斜角為45°的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+mt\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在直角坐標系xOy中，P（1，2），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為ρ²（5cos²θ-1）=4．直線l與曲線M交于A，B兩點．
（1）求m的值及曲線M的直角坐標方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)得$\frac{y-2}{x-1}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{m}=tan45°$，由此能求出m的值；由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲線M的直角坐標方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入4x²-y²=4，得$3{t^2}+4\sqrt{2}t-8=0$，由t的幾何意義能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵傾斜角為45°的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+mt\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)得$\frac{y-2}{x-1}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{m}=tan45°$，解得$m=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）
曲線M的極坐標方程為ρ²（5cos²θ-1）=4，
即5ρ²cos²θ-ρ²=4，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，
∴曲線M的直角坐標方程為4x²-y²=4．…（5分）
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入4x²-y²=4，
整理得$3{t^2}+4\sqrt{2}t-8=0$，…（8分）
由t的幾何意義得$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{8}{3}$．…（10分）

點評 本題考查實數(shù)值和曲線的直角坐標方程的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查極坐標、直角坐標的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．