【題目】已知橢圓的右焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點，，橢圓上存在兩個點滿足：三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）又題意知，，及即可求得，從而得橢圓方程.

（2）分三種情況：直線斜率不存在時，的斜率為0時，的斜率存在且不為0時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計算即可.

（1）由焦點與短軸兩端點的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知，，

∵過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

又，解得.

∴橢圓的方程為

（2）由（1）可知圓的方程為，

（i）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，

此時

（ii）當(dāng)直線的斜率為零時，.

（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則.

所以，

（注：的長度也可以用點到直線的距離和勾股定理計算.）

由可得直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去，

得

設(shè)的橫坐標(biāo)為，則.

.

綜上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會驚艷亮相，冬奧會正式進入了北京周期，全社會對冬奧會的熱情空前高漲.

（1）為迎接冬奧會，某社區(qū)積極推動冬奧會項目在社區(qū)青少年中的普及，并統(tǒng)計了近五年來本社區(qū)冬奧項目青少年愛好者的人數(shù)（單位：人）與時間（單位：年），列表如下：

依據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明(計算結(jié)果精確到0.01).

(若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù).

（2）某冰雪運動用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者，特推出兩種促銷方案.

方案一:每滿600元可減100元；

方案二:金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率同為 ，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折. v

兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品，并且都選擇第二種優(yōu)惠方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；

②如果你打算購買1000元的冰雪運動用品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若（其中）

（�。┣髮崝�(shù)t的取值范圍；

（ⅱ）證明：；

（2）是否存在實數(shù)a，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

（1）求的解析式；

（2）求過曲線上任意一點的切線與直線和直線所圍成的三角形面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，對任何正整數(shù)n都有:

（1）若數(shù)列是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列？若是請求出通項公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法中，正確的有______.

①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；

②根據(jù)列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出，而，則有的把握認為兩個分類變量有關(guān)系，即有的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤；

③是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機變量，當(dāng)的值很小時可以推斷兩類變量不相關(guān)；

④某項測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】實驗中學(xué)從高二級部中選拔一個班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1個相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學(xué)校參加大賽．每個班級6名選手，現(xiàn)從每個班級6名選手中隨機抽取3人回答這個問題已知這6人中，甲班級有4人可以正確回答這道題目，而乙班級6人中能正確回答這道題目的概率每人均為，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立，互不影響的．

（1）求甲、乙兩個班級抽取的6人都能正確回答的概率；

（2）分別求甲、乙兩個班級能正確回答題目人數(shù)的期望和方差、，并由此分析由哪個班級代表學(xué)校參加大賽更好？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項能力指標(biāo)值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖1所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是（ ）

A. 乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力

B. 甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C. 乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平

D. 甲的數(shù)學(xué)運算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

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